Question

以知椭圆的两个焦点分别为F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），过点的直线与椭圆相交与A，B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线AB的斜率；
（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F₂B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF₁C的外接圆上，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．
（2）由题意知椭圆的方程可写为2x²+3y²=6c²，设直线AB的方程为，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则它们的坐标满足方程组，整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解．
（III）解法一：当时，得，．线段AF₁的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是△AF₁C外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．由此可以推导出的值．
解法二：由椭圆的对称性可知B，F₂，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF₁CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值．
解答：（1）解：由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，
得，从而
整理，得a²=3c²，故离心率
（2）解：由（I）得b²=a²-c²=2c²，
所以椭圆的方程可写为2x²+3y²=6c²
设直线AB的方程为，即y=k（x-3c）．
由已知设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得（2+3k²）x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0．
依题意，
而①
②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x₂③
联立①③解得，
将x₁，x₂代入②中，解得．
（III）解法一：由（II）可知
当时，得，由已知得．
线段AF₁的垂直平分线l的方程为直线l与x轴
的交点是△AF₁C外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为．
直线F₂B的方程为，
于是点H（m，n）的坐标满足方程组，
由m≠0，解得故
当时，同理可得．
解法二：由（II）可知
当时，得，由已知得
由椭圆的对称性可知B，F₂，C三点共线，
因为点H（m，n）在△AF₁C的外接圆上，
且F₁A∥F₂B，所以四边形AF₁CH为等腰梯形．
由直线F₂B的方程为，
知点H的坐标为．
因为|AH|=|CF₁|，所以，解得m=c（舍），或．
则，所以．当时同理可得
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系和椭圆性质的综合应用，难度较大，解题要注意公式的正确选取和灵活运用，避免不必要的性质．