Question

（2013•怀化二模）已知数列{a_n}满足：a₁=1，an-an-1+2anan-1=0，(n∈N*，n＞1)
（Ⅰ） 求证数列{

1

an

}是等差数列并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设b_n=a_na_n+1，求证：b1+b2+…+bn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先确定数列{

1

an

}是以1为首项，2为公差的等差数列，可求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{b_n}的通项，利用裂项法求数列的和，再用放缩法，即可证得结论．

解答：证明：（Ⅰ）a_n-a_n-1+2a_na_n-1=0两边同除以a_na_n-1得：

1

an

-

1

an-1

=2
所以数列{

1

an

}是以1为首项，2为公差的等差数列…（3分）
于是

1

an

=2n-1，an=

1

2n-1

，(n∈N*)…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），bn=

1

(2n-1)(2n+1)

则
b1+b2+…+bn=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)＜

1

2

…（12分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．