Question

已知两定点F₁（），F₂（），满足条件||-||=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A，B两点．如果|AB|=，求直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：由双曲线的定义易判断点P轨迹E是以F₁（-，0），F₂（，0）为焦点的双曲线的左支，从而可求得E的方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与双曲线方程得方程组，消y得（1-k²）x²+2kx-2=0．由直线交双曲线左支于两点得关于k的限制条件，再由弦长公式可得关于k的方程，解出k，注意检验是否满足以上条件．
解答：解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（-，0），F₂（，0）为焦点的双曲线的左支，
且，a=1，∴b=1，
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意建立方程组，消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
∵已知直线与双曲线左支交于两点A、B，∴，解得＜k＜-1．
又∵|AB|==

==2，
依题意得2=6，整理后得28k⁴-55k²+25=0，
解得k²=或，但＜k＜-1，∴，
故直线AB的方程为．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线方程，考查二次方程根的分布问题，弦长公式、韦达定理是解决该类问题的基础知识，要熟练掌握．