题目内容

用数学归纳法证明：

tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N+)．

答案：
解析：

　　解析：(1)当n＝2时，左边＝tanα×，

　　右边＝，

　　等式成立．

　　(2)假设当n＝k时(k≥2，k∈N+)等式成立，即

　　tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＝－k，

　　则当n＝k＋1时，

　　tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α

　　＝－k＋tankα·tan(k＋1)α．(*)

　　因tanα＝tan[(k＋1)α－kα]

　　＝，得

　　tankαtan(k＋1)α＝．

　　代入(*)式，得

　　右边＝－(k＋1)，

　　即tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α＝－(k＋1)．

　　这就是说，当n＝k＋1时等式成立．

　　根据(1)(2)可知，对任意n≥2，n∈N+，等式成立．


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；
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2
|+|a2-
2
|+…+|an-
2
|＜2．
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