题目内容
已知点F1，F2是双曲线C的两个焦点，过点F2的直线交双曲线C的一支于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，则双曲线C的离心率为 ．
分析：根据双曲线的定义算出|BF1|=4a，|BF2|=6a．在△BF1F2中，由余弦定理可得算出c=
a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．
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解答：
解：如图所示，|BF2|-|BF1|=2a，|AF1|-|AF2|=2a，
∵△ABF1为等边三角形，∴|AB|=|AF1|=|BF1|，
∴|BF2|-|AF2|=4a=|AB|．
∴|BF1|=4a，|BF2|=6a．
在△BF1F2中，由余弦定理可得（2c）2=（4a）2+（6a）2-2•4a•6a•cos60°，
∴c=
a，
∴e=
=
．
故答案为：
．
解：如图所示，|BF2|-|BF1|=2a，|AF1|-|AF2|=2a，∵△ABF1为等边三角形，∴|AB|=|AF1|=|BF1|，
∴|BF2|-|AF2|=4a=|AB|．
∴|BF1|=4a，|BF2|=6a．
在△BF1F2中，由余弦定理可得（2c）2=（4a）2+（6a）2-2•4a•6a•cos60°，
∴c=
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∴e=
| c |
| a |
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故答案为：
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点评：本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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)为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于y = x对称．
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