Question

（2012•湖南模拟）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点A（n，

Sn

n

）（n∈N）总在直线y=

1

2

x+

3

2

上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=

n+1	an

（n∈N），试问数列{b_n}中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用点A（n，

Sn

n

）（n∈N）总在直线y=

1

2

x+

3

2

上，可得S_n=

1

2

n2+

3

2

n，再写一式，两式相减，即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=n+1，可知bn=

n+1	n+1

，猜想{b_n+1}递减，即猜想当n≥2时，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

，再进行证明，从而可得数列{b_n}的最大项．

解答：解：（Ⅰ）∵点A（n，

Sn

n

）（n∈N）总在直线y=

1

2

x+

3

2

上，
∴

Sn

n

=

1

2

n+

3

2

，∴S_n=

1

2

n2+

3

2

n…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n2+

3

2

n）-[

1

2

(n-1)2+

3

2

(n-1)]=n+1…（4分）
当n=1时，a₁=S₁=2满足上式
故数列{a_n}的通项公式为a_n=n+1…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）a_n=n+1，可知bn=

n+1	n+1

 …（6分）
b1=

2

=

6	23

＜

6	32

=

3	3

=b₂，b3=

4	4

=

2

=b1，b3=

4	4

=

20	45

＞

20	54

=

5	5

=b4，
所以，b₂＞b₁=b₃＞b₄ …（8分）
猜想{b_n+1}递减，即猜想当n≥2时，

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

…（10分）
考察函数y=

lnx

x

(x＞2)，则y′=

1-lnx

x2

，
∵x＞e，∴lnx＞1，∴y′＜0，
∴y=

lnx

x

在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e…（12分）
∴

ln(n+2)

n+2

＜

ln(n+1)

n+1

，即

n+1	n+1

＞

n+2	n+2

．
∴猜想正确，
因此，数列{b_n}的最大项是b2=

3	3

．…（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数列的单调性，考查数列与函数的关系，正确求通项，确定数列的单调性是关键．