Question

在直角坐标系xOy中，设动点P到直线

3

y-4=0的距离为d₁，到点（0，

3

）的距离为d₂，且d1：d2=2：

3

．又设点P的轨迹为C，直线l：y=kx+1与C交于A，B两点．
（Ⅰ）写出轨迹C的方程；
（Ⅱ）若

OA

⊥

OB

，求k的值；
（Ⅲ）若点A在第一象限，试问：当k＞0时，是否恒有|

OA

|＞|

OB

|？

Answer 1

分析：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，

3

）为焦点，以直线

3

y-4=0为准线的椭圆．由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）由

x2+ x2 4 =1  y=kx+1

，得（k²+4）x²+2kx-3=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．由此能求出k的值．
（Ⅲ）|

OA

|2-|

OB

|2=x12+y12-(x22+y22)=

6k(x1-x2)

k2+4

．因为A在第一象限，故x₁＞0．由x1x2=-

3

k2+4

，知x₂＜0，由此计k＞0时，|

OA

| ＞|

OB

|．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0，

3

）为焦点，以直线

3

y-4=0为准线的椭圆．
由

c= 3 a2 c = 4 3 c a = 3 2

得c=

3

，a=2，故曲线C的方程为x2+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）由

x2+ x2 4 =1  y=kx+1

，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．
若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化简得-4k²+1=0，
所以k=±

1

2

．…．（8分）
（Ⅲ）|

OA

|2-|

OB

|2=x12+y12-(x22+y22)
=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=

6k(x1-x2)

k2+4

．
因为A在第一象限，故x₁＞0．
由x1x2=-

3

k2+4

，知x₂＜0，
从而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故|

OA

| 2-| 

OB

|2＞0，
即在题设条件下，恒有|

OA

| ＞|

OB

|．…（12分）

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．