Question

设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出椭圆的a，b，c，P是第一象限内该椭圆上的一点设为（x，y），利用，以及P在椭圆上，求点P的作标；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，△＞0且∠AOB为锐角（其中O为作标原点），就是利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，．
∴，．设P（x，y）（x＞0，y＞0）．
则，又，
联立，解得，．

（Ⅱ）显然x=0不满足题设条件．可设l的方程为y=kx+2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立
∴，
由△=（16k）²-4•（1+4k²）•12＞016k²-3（1+4k²）＞0，4k²-3＞0，得．①
又∠AOB为锐角，
∴
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=
=
=
∴．②
综①②可知，
∴k的取值范围是．
点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．