Question

素材1:函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)；

素材2:函数f（x）是偶函数;

素材3:函数f(x)的图象关于点M（，0）对称；

素材4:函数f(x)在区间［0,］上是单调函数.

先将上面的素材构建成一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题：已知函数f(x)=sin(ωx+φ)

(ω＞0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称，且在区间［0,］上是单调函数，求φ和ω的值.

解析：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x),

即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ).所以-cosφsinωx=cosφsinωx对任意x都成立，且ω＞0.所以得cosφ=0.依题设0≤φ≤π,所以解得φ=.由f(x)的图象关于点M对称，得f(-x)=-f( +x).

取x=0,得f（）=-f().

∴f()=0.

∵f()=sin(+)=cos.

∴cos=0.又ω＞0,

得=+kπ,k=0,1,2….

∴ω=(2k+1),k=0,1,2….

当k=0时，ω=,f(x)=sin(x+)在［0,］上是减函数；

当k＝1时，ω=2,f(x)=sin(2x+)在［0,］上是减函数；

当k≥2时 ，ω≥,f(x)=sin(ωx+)在［0,］上不是单调函数.

综上，得ω=或ω=2.