Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为且过点（4，）.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）直线x=3与双曲线交于M、N两点，求证：F₁M⊥F₂M.

Answer 1

（1）解：由双曲线的离心率为,即=,则,

∴a=b,即双曲线为等轴双曲线.

可设其方程为x²-y²=λ(λ≠0).

由于双曲线过点(4,),

则4²-()²=λ.

∴λ=6.∴双曲线方程为.

(2)证明：由(1)可得F₁,F₂的坐标分别为(,0),(,0),M,N的坐标分别为(3,),

(3,).

∴=,=.

故·=·.

∴F₁M⊥F₂M.

点评:(1)离心率给定的问题应先研究a,b的关系,简化设方程的字母个数.

(2)λ≠0时,方程x²-y²=λ,既可表示焦点在x轴上也可表示焦点在y轴上的双曲线.