Question

【题目】已知函数（，）和函数（，，）．问：（1）证明：在上是增函数；

（2）把函数和写成分段函数的形式，并画出它们的图象，总结出的图象是如何由的图象得到的．请利用上面你的结论说明：的图象关于对称；

（3）当，，时，若对于任意的恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）理由见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）利用单调区间定义法，计算，所以函数为增函数；（2）根据绝对值的意义，有.的图象是由的图象向右平移个单位得到的，因此，函数图象，是由向右平移个单位得到，故图像关于对称；（3）当，，时，若等价于对于任意的恒成立，根据去绝对值，分类讨论的取值范围.

试题解析：

（1）在内任取两个实数，，且，则，

，

因为，，所以，又有，所以，

所以在是增函数．

（2）

的图象是由的图象向右平移1个单位得到的，

先考虑函数（，），

在的定义域内任取一个实数，则也在其定义域内，

因为，所以函数是偶函数,

即其图象的对称轴为，

由上述结论，的图象是由的图象向右平移个单位得到，

所以的图象关于对称．

（3）由题意可知对于任意的恒成立．

当时，不等式化为，

即对于任意恒成立，

当时，即，不等式化为，满足题意；

当时，由题意进而对称轴，

所以，解得；

结合以上两种情况．

当时，不等式，

即对于任意恒成立，

由题意进而对称轴，

所以，即，解得，

所以．

综上所述，的取值范围为．