题目内容
已知直线l：y=kx+1与圆C：（x-2）2+（y-3）2=1相交于A，B两点．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，f(k)=[S(k)]2+
，求f（k）的最大值．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）若O为坐标原点，S（k）表示△OAB的面积，f(k)=[S(k)]2+
| 3 |
| k2+1 |
（1）直线l与y轴的交点为N（0，1），圆心C（2，3），设M（x，y），
∵MN与MC所在直线垂直，∴
•
=-1，（x≠0且x≠2），
当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y+3=0，
＜x＜
．（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵S△OAB=S△ONB-S△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=
•|ON|•|x2-x1|
将y=kx+1代入方程（x-2）2+（y-3）2=1得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，
∵x1+x2=
，x1•x 2=
∴4S△OAB2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1•x2=
，
∴f(k)=S2(k)+
=
，（10分）
∵由f′(k)=
=0，∴k=±
，∵△＞0得
＜k＜
，
∴k=
时，f（k）的最大值为
．（14分）
∵MN与MC所在直线垂直，∴
| y-1 |
| x |
| y-3 |
| x-2 |
当x=0时不符合题意，当x=2时，y=3符合题意，
∴AB中点的轨迹方程为：x2+y2-2x-4y+3=0，
7-
| ||
| 4 |
7+
| ||
| 4 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵S△OAB=S△ONB-S△ONA，且|ON|=1，∴S△OAB=
| 1 |
| 2 |
将y=kx+1代入方程（x-2）2+（y-3）2=1得（1+k2）x2-4（1+k）x+7=0，
∵x1+x2=
| 4(1+k) |
| 1+k2 |
| 7 |
| 1+k2 |
∴4S△OAB2=|x2-x1|2=（x1+x2）2-4x1•x2=
| 32k-12-12k2 |
| (1+k2)2 |
∴f(k)=S2(k)+
| 3 |
| k2+1 |
| 8k |
| (k2+1)2 |
∵由f′(k)=
-24(k+
| ||||||||
| (k2+1)3 |
| ||
| 3 |
4-
| ||
| 3 |
4+
| ||
| 3 |
∴k=
| ||
| 3 |
3
| ||
| 2 |
练习册系列答案
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如图所示，已知圆M：（x+1）2+y2=8及定点N（1，0），点P是圆M上一动点，点Q为PN的中点，PM上一点G满足