Question

农户计划将已有的一块半径为100米的土地（如图所示）重新规划，拟将面积相等的两个△AOD与△BOC置为普通花草地，△COD置为特级花草地，O为半圆圆心，∠COB=θ，据市场调查，特级花草市场销售价变化不大，普通花草市场销售价变化较大，以往经验显示：特级花草地每平方米年利润为a元，普通花草地每平方米年利润为asinθ元．
（1）分别写出△BOC、△AOD、△COD的面积关于θ的函数关系；
（2）写出农户年总利润f（θ）关于θ的函数关系，当θ为何值时，年总利润f（θ）最大．

Answer 1

解：（1）由题意可得 S_△BOC= sinθ=S_△AOD，其中 0＜θ＜．
S_△COD=sin（π﹣2θ）=sin2θ．
（2）农户年总利润f（θ）等于特级花草地的利润加上普通花草地的利润，而年利润等于每平方米年利润乘以面积，
故f（θ）=asin2θ+asinθ（2 sinθ）
=50asin2θ+100asin2θ=50asin2θ+100a
=50asin2θ﹣50acos2θ+50a
=50a sin（2θ﹣）+50a．
故当2θ﹣=，即θ=时，总利润f（θ）取得最大值．