Question

在数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=3a_n+3ⁿ⁺¹．
（1）设bn=

an

3n

．证明：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=3a_n+3ⁿ，得

an+1

3n+1

=

an

3n

+1，进而可知b_n+1=b_n+1根据等差数列的定义推断出数列{b_n}是等差数列；
（2）根据（1）中的{b_n}的首项和公差求得b_n，进而根据bn=

an

3n

求得a_n，利用错位相减法求得数列的前n项的和．

解答：解：（1）a_n+1=3a_n+3ⁿ，
∴

an+1

3n+1

=

an

3n

+1，于是b_n+1=b_n+1，
∴{b_n}为首项与公差均为1的等差数列．
又由题设条件求得b₁=1，故b_n=n，
由此得

an

3n

=n
∴a_n=n×3ⁿ．
（2）S_n=1×3¹+2×3²+…+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ，
3S_n=1×3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹，
两式相减，得2S_n=n×3ⁿ⁺¹-（3¹+3²+…+3ⁿ），
解出Sn=(

n

2

-

1

4

)3n+1+

3

4

．

点评：本题主要考查了等差关系的确定及数列的求和．对于由等比和等差数列构成的数列求和时，可采用错位相减法．