Question

（08年全国卷Ⅰ）（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

Answer 1

【解析】（Ⅰ）设双曲线方程为，右焦点

为，则．

不妨设　，

则　　，　　．

因为　，　　且，

所以　，

于是得　．

又与同向，故，

所以　　．

解得　　，或（舍去）．

因此　　．

所以双曲线的离心率．

（Ⅱ）由知，双曲线方程可化为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．①

由的斜率为知，直线的方程为．．．．．．．．．．．②

将②代入①并化简，得．

设与双曲线的两交点的坐标分别为，则

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③

被双曲线所截得的线段长．．．④

将③代入④并化简得，而由有已知，故，．

所以双曲线方程为：．