Question

（08年全国卷Ⅰ理）等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于          ．

Answer 1

【解析】 .    

（方法一）：综合法（略解）证明四棱锥为正四棱锥（略）。

过点N作NM⊥DE（M为垂足，且为DM中点）易知四边形NPME为平行四边形，∴NP=ME   为所求的角。令AB=2，在中，，由余弦定理可求得所成角的余弦值等于。

（方法二）：设，作

，则，为二面角的平面角

，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则

,

故所成角的余弦值

 

（方法三）：以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

 

则点,

，

则，

故所成角的余弦值。