Question

【题目】已知四棱锥A-BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD//BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F为AD的中点.

（1）求证:EF//平面ABC；

（2）设M是AB的中点，若DM与平面ABC所成角的正切值为，求平面ACD与平面ADE夹角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明面．

（2）由平面，是为与平面所成角，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法能示出平面与平面夹角的余弦值．

证明：（1）取中点，连结、，

、分别是、的中点，

，且．

又，且，

四边形是平行四边形，

，面且面，

面．

（2）平面，

为与平面所成角，

为的中点，且，，得

与平面所成角的正切值为，

，，

以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标，

则， ， ， ，

， ，

设平面的法向量为，

由，取，得，

而平面的法向量为，

，，

由，

得平面与平面夹角的余弦值为．