题目内容
在△ABC中，已知角A、B、C．所对的边分别是a、b、c，边c=
，且tanA+tanB=
-
tanA．tanB，又△ABC的面积为S△ABC=
，求a+b的值．
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| 3 |
| 3 |
3
| ||
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分析：将已知等式tanA+tanB=
-
tanAtanB变形后，利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而确定出sinC与cosC的值，由已知的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式求出ab的值，再由c及cosC的值，利用余弦定理及完全平方公式列出关系式，将ab的值代入，开方即可求出a+b的值．
| 3 |
| 3 |
解答：解：∵tanA+tanB=
-
tanAtanB，
∴
=
，即tan（A+B）=
，
∴tan（π-C）=
，即tanC=-
，
∵C为三角形的内角，
∴C=
，
∵S△ABC=
absinC=
ab×
=
，∴ab=6，
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：（
）2=a2+b2-2abcos
，
∴a2+b2+ab=（a+b）2-ab=（a+b）2-6=
，即（a+b）2=
，
∵a+b＞0，
∴a+b=
．
| 3 |
| 3 |
∴
| tanA+tanB |
| 1-tanAtanB |
| 3 |
| 3 |
∴tan（π-C）=
| 3 |
| 3 |
∵C为三角形的内角，
∴C=
| 2π |
| 3 |
∵S△ABC=
| 1 |
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| 1 |
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| 2 |
3
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由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：（
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| 2 |
| 2π |
| 3 |
∴a2+b2+ab=（a+b）2-ab=（a+b）2-6=
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| 4 |
| 73 |
| 4 |
∵a+b＞0，
∴a+b=
| ||
| 2 |
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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