Question

等差数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=64，是公比为64的等比数列．
（1）求{a_n}与{b_n}；
（2）证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，
依题意有 ，由此可导出a_n与b_n．
（2）S_n=3+5++（2n+1）=n（n+2），所以 ，然后用裂项求和法进行求解．
解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则d为正整数，a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1
依题意有 ①
由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得d=2，q=8
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8^n-1
（2）S_n=3+5++（2n+1）=n（n+2）
∴==．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的应用．考查分析解决问题的能力和运算能力，是难题．