Question

（2012•保定一模）已知等比数列{a_n}的前n项和为Sn，S₃=14，S₆=126．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Tn=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

，试求T_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据S₃=14，S₆=126．可求出a₄+a₅+a₆=112，再利用等比数列各项之间的关系，求出公比q，把S₃=a₁+a₂+a₃=14中的每一项用a₁和q表示，求出a₁，代入等比数列的通项公式即可
（2）由（1）知，

1

anan+1

=

1

2n•2n+1

=

1

22n+1

，

1 anan+1

1 an-1an

=

1

4

，得出数列{

1

anan+1

}是以

1

8

为首项，

1

4

为公比的等比数列．利用公式求解即可．

解答：解：（1）∵S₃=a₁+a₂+a₃=14，S₆=a₁+a₂+…+a₆=126
∴a₄+a₅+a₆=112，∵数列{a_n}是等比数列，
∴a₄+a₅+a₆=（a₁+a₂+a₃）q³=112
∴q³=8∴q=2
由a₁+2a₁+4a₁=14得，a₁=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ
（2）由（1）知，

1

anan+1

=

1

2n•2n+1

=

1

22n+1

，

1 anan+1

1 an-1an

=

1

4

，
又a₁=2，a₂=4，所以数列{

1

anan+1

}是以

1

8

为首项，

1

4

为公比的等比数列．
∴Tn=

1 8 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

1

6

(1-

1

4n

)

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式、前n项和的计算，考查方程思想，转化、计算能力．