题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ x³- $数学公式$ （1-a）x²-（a-1）x-1-lnx
（1）若函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=- $数学公式$ x-2013垂直，求实数a的值；
（2）当a=2时，求函数g（x）=f′（x）的单调区间；
（3）试讨论函数h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a- $数学公式$ ）x+ $数学公式$ 的单调区间．

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）= $\text{[math]}$ ，
因为函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=- $\text{[math]}$ x-2013垂直，所以f′（2）=2，
即4-2（1-a）-（a-1）- $\text{[math]}$ =2，解得a=- $\text{[math]}$ ，
所以a=- $\text{[math]}$ ．
（2）当a=2时，g（x）=f′（x）= $\text{[math]}$ ，
g′（x）=2x+1+ $\text{[math]}$ ，因为x∈（0，+∞），所以g′（x）＞0，
故g（x）的单调增区间是∈（0，+∞）．
（3）h（x）=f′（x）+x³+（a-2）x²-（a²+a- $\text{[math]}$ ）x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
h′（x）= $\text{[math]}$ =3[x-（a- $\text{[math]}$ ）]（x- $\text{[math]}$ ），
①当a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 即a=1时，h′（x）= $\text{[math]}$ ≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ≤0即a≤- $\text{[math]}$ 时，由h′（x）＞0?x＞0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a- $\text{[math]}$ ≤0＜ $\text{[math]}$ 即- $\text{[math]}$ ＜a $\text{[math]}$ 时，由h′（x）＞0?x＞ $\text{[math]}$ ，由h′（x）＜0?0＜x＜ $\text{[math]}$ ，函数h（x）在（0， $\text{[math]}$ ）上单调递减，在（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增；
④当0＜a- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ ＜a＜1时，由h′（x）＞0?0＜x＜a- $\text{[math]}$ 或x＞ $\text{[math]}$ ，函数h（x）在（0，a- $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增，在（a- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上单调递减；
⑤当a- $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ 即a＞1时，由h′（x）＞0?0＜x＜ $\text{[math]}$ 或x＞a- $\text{[math]}$ ，函数h（x）在（0， $\text{[math]}$ ），（a- $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增，在（ $\text{[math]}$ ，a- $\text{[math]}$ ）上单调递减；
综上，当a=1时，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；当 $\text{[math]}$ ＜a＜1时，函数h（x）的增区间是（0，a- $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，+∞），减区间是（a- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
当- $\text{[math]}$ ＜a $\text{[math]}$ 时，函数h（x）的增区间是（ $\text{[math]}$ ，+∞），减区间是（0， $\text{[math]}$ ）；当a≤- $\text{[math]}$ 时，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＞1时，函数h（x）的增区间是（0， $\text{[math]}$ ），（a- $\text{[math]}$ ，+∞），减区间是（ $\text{[math]}$ ，a- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由函数f（x）在x=2处的切线与直线 y=- $\text{[math]}$ x-2013垂直，知f′（2）=2，由此可求a值；
（2）当a=2时，可求g（x），利用导数与函数单调性的关系可求其单调区间；
（3）求出h′（x），然后利用导数与函数单调性的关系解含参的二次不等式即可．
点评：本题考查导数的几何意义、导数与函数单调性的关系，考查含参的二次不等式的解法及分类讨论思想，难度较大．