Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA=AD=2.

（Ⅰ）求证：PD//平面AMC；
（Ⅱ）若AB=1，求二面角B—AC—M的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）要证//平面，只需在平面找一条直线与平行即可，证明线线平行，可利用三角形的中位线平行，也可利用平行四边形的对边平行，本题为的中点，可考虑利用三角形的中位线平行，连接，设与相交于点，连接，利用三角形中位线性质，证得//，从而证明//平面；（Ⅱ）求二面角B—AC—M的余弦值，可找二面角的平面角，取的中点，连接，作，垂足为，连接，证明为二面角的平面角，即可求得二面角的余弦值；也可利用空间坐标来求，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，由于平面，故平面的一个法向量为，设出平面的法向量，通过，，求出平面的法向量，从而得二面角B—AC—M的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：?连接，设与相交于点，连接，
????∵?四边形是平行四边形，∴点为的中点．????????????????
∵为的中点，∴为的中位线，
∴//，?????????    3分
∵，
∴//．???????? 6分
?(Ⅱ)??解法一?：?∵平面，//，?则平面，故，
又??且，
∴?平面，取的中点，连接，则//，且?．∴?．
作，垂足为，连接，由于，且，
∴，∴?．
∴为二面角的平面角．?  ?9分
由∽，得，得，
在中，．
∴?二面角的余弦值为．????  12分
?(Ⅱ?)?解法二：?∵平面，，?则平面，故，
又??且，∴．?????????? ?9分
以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．
????
则，，，，，?∴，?，求得平面的法向量为，?又平面的一个法向量为，?
∴??.?
∴?二面角B—AC—M的余弦值为.??  12分