Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为实常数）．
（Ⅰ）若a=-2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=-2代入，然后求出导函数f'（x），欲证函数f（x）在（1，+∞）上是增函数只需证导函数在（1，+∞）上恒大于零即可；
（Ⅱ）先求出导函数f'（x），然后讨论a研究函数在[1，e]上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．

解答：解：（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=x²-2lnx，当x∈（1，+∞），f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0，
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）f′(x)=

2x2+a

x

(x＞0)，当x∈[1，e]，2x²+a∈[a+2，a+2e²]．
若a≥-2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]_min=f（1）=1．
若-2e²＜a＜-2，当x=

-a 2

时，f'（x）=0；当1≤x＜

-a 2

时，f'（x）＜0，
此时f（x）是减函数；当

-a 2

＜x≤e时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．
故[f（x）]_min=f(

-a 2

)=

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

若a≤-2e²，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e²，x=e时，f'（x）=0），
故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]_min=f（e）=a+e²．
综上可知，当a≥-2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；
当-2e²＜a＜-2时，f（x）的最小值为

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

，相应的x值为

-a 2

；
当a≤-2e²时，f（x）的最小值为a+e²，相应的x值为e

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，属于中档题．