Question

设F₁，F₂分别是椭圆C：的左右焦点．
（1）设椭圆C上的点到F₁，F₂两点距离之和等于，写出椭圆C的方程；
（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F₂且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF₁的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PN，k_PN试探究k_PN•k_PN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用点在椭圆上，椭圆C上的点到F₁，F₂两点距离之和等于，求出几何量，即可求得椭圆C的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用，即可求△ABF₁的面积；
（3）利用M，N，P在椭圆上，代入椭圆方程，两方程相减，再计算k_PN•k_PN的值，即可得到结论．
解答：解：（1）由于点在椭圆上，所以（2分）
解得，（4分）
故椭圆C的方程为（5分）
（2）由（1）知椭圆C的左右焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），|F₁F₂|=2
所以，过椭圆的焦点F₂且斜率为1的直线方程为y=x-1
将其代入，整理得3x²-4x=0，解得
当x₁=0时，y₁=-1，当时，
所以△ABF₁的面积：=（9分）
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
设M（x，y），N（-x，-y），P（x，y），
∵M，N，P在椭圆上，
∴
两式相减得
又∵，
∴
故：k_PN•k_PN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．（14分）
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．