Question

已知{a_n}为等差数列，且a₃=5，a₇=2a₄-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式及其前n项和S_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b1+4b2+9b3+…+n2bn=an求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a₁，d，由题意可得关于它们的方程组，解方程组代入通项公式和求和公式可得；
（Ⅱ）由题意可得当n≥2时，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1，和已知式子相减可得当n≥2时的不等式，验证n=1时可得其通项公式．

解答：解：（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为a₁，d，
则

a3=a1+2d=5 a7=a1+6d=2a4-1=2(a1+3d)-1

，解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²
（Ⅱ）∵b1+4b2+9b3+…+n2bn=an    ①
当n≥2时，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1    ②
①-②得n²b_n=a_n-a_n-1=2，n≥2，
∴bn=

2

n2

，n≥2，又∵b₁=a₁=1，
∴bn=

1，n=1 2 n2 ，n≥2

点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．