Question

已知函数f（x）=x（lnx+m），g(x)=

a

3

x3+x．
（1）当m=-2时，求f（x）的单调区间；
（2）若m=

3

2

时，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于m=-2，则函数f（x）=x（lnx+m）=x（ln x-2），再对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围，令导函数大于0求出x的范围，即可得到函数的单调区间；
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

），列出不等式解出a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

恒成立，求出h(x)=

3(lnx+ 1 2 )

x2

的最大值方法是令其导函数为0求出x的值，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值．根据a大于等于h（x）的最大值，求出解集即可得到a的范围．

解答：解：（1）当m=-2时，f（x）=x（ln x-2）=xln x-2x，
定义域为（0，+∞），且f′（x）=ln x-1．…（2分）
由f′（x）＞0，得ln x-1＞0，所以x＞e．由f′（x）＜0，得ln x-1＜0，所以0＜x＜e．
故f（x）的单调递增区间是（e，+∞），递减区间是（0，e）．…（5分）
（2）由于m=

3

2

，可得f（x）=x（ln x+

3

2

）（x＞0），
不等式g（x）≥f（x）即

a

3

x3+x≥x(ln x+

3

2

)恒成立．
由于x＞0，则

a

3

x2+1≥ln x+

3

2

，亦即

a

3

x2≥ln x+

1

2

，所以a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

．
令h(x)=

3(lnx+ 1 2 )

x2

，则h′(x)=

-6lnx

x3

，
由h′（x）=0得x=1，且当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
即h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（10分）
所以h（x）在x=1处取得极大值h（1）=

3

2

，也是h（x）在定义域上的最大值．
因此要使a≥

3(lnx+ 1 2 )

x2

恒成立，需有a≥

3

2

，故a的取值范围为[

3

2

，+∞)．…（12分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．