题目内容

设函数f（x）=x+logax，
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）解不等式log2(x2-x)＜3+x-x2．
分析：（1）求出f（x）的定义域，然后在分a＞1及）＜a＜1两种情况在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）log2(x2-x)+x2-x＜3，又f（2）=3，所以该不等式可化为f（x2-x）＜f（2），由（1）利用函数单调性即可解得不等式．
解答：解．（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=1+
1
xlna
，
当a＞1时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，解得x＞-
1
lna
，由f′（x）＜0，解得0＜x＜-
1
lna
．
所以f（x）在（0，-
1
lna
）上单调递减，在（-
1
lna
，+∞）上单调递增；
综上，当a＞1时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当0＜a＜时，f（x）的减区间是（0，-
1
lna
），增区间是（-
1
lna
，+∞）．
（2）原不等式可化为log2(x2-x)+x2-x＜3．
由（1）知f（t）=t+log2t在（0，+∞）上是增函数，且f（2）=3，
所以log2(x2-x)+x2-x＜3可化为f（x2-x）＜f（2），
所以0＜x2-x＜2，解得1＜x＜2．
所以原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．
点评：本题考查导数与函数单调性及应用单调性解抽象不等式，（2）问解决关键是合理构造函数．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数t，使得对于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），则称f（x）为C上的t低调函数．如果定义域为[0，+∞）的函数f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）为[0，+∞）上的10低调函数，那么实数m的取值范围是（　　）
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]
（2012•深圳一模）已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．
设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）恒成立；当x∈[0，1]时，f（x）=x3-4x+3．有下列命题：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的图象与x轴的交点的横坐标由小到大构成一个无穷等差数列；
④关于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7个不同的根．
其中真命题的个数为（　　）
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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