Question

16．函数f（x）=sin（ωx+φ）+k，（ω＞0，-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且在x=-$\frac{π}{6}$处取得最小值-2．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到函数g（x），设A，B，C为三角形的三个内角，若g（B）=0，且$\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA-cosAtanB），求$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由周期求得ω，再根据函数在x=-$\frac{π}{6}$处取得最小值-2求得φ，可得f（x）的解析式，从而利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）有条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，由g（B）=0求得B的值．利用两个向量的数量积公式求得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的解析式，利用三角恒等变换化简它的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，函数f（x）=sin（ωx+φ）+k的最小值为-1+k=-2，∴k=-1．
∵f（-$\frac{π}{6}$）=sin（-$\frac{π}{3}$+φ）-1=-2，∴φ-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z．
结合-$\frac{π}{2}$＜φ＜$\frac{π}{2}$，可得φ=-$\frac{π}{6}$，∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，
可得f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅱ）将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到函数g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]-1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1的图象，
由g（B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）-1=0，求得sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，∴B=$\frac{π}{6}$．
由 $\overrightarrow{m}$=（cosA，cosB）=（cosA，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（1，sinA-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosA），可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA-$\frac{1}{2}$cosA=sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵0＜A＜$\frac{5π}{6}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜π，0＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1
∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$ 的取值范围为（0，1]．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、单调性、定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两个向量的数量积公式，三角恒等变换，属于中档题．