Question

若a＞0，b＞0，且a+b=c，
求证：（1）当r＞1时，a^r+b^r＜c^r；（2）当r＜1时，a^r+b^r＞c^r．

Answer 1

分析：

ar+br

cr

=(

a

c

)r+(

b

c

)r，由此能够证明：（1）当r＞1时，a^r+b^r＜c^r；（2）当r＜1时，a^r+b^r＞c^r．

解答：证明：

ar+br

cr

=(

a

c

)r+(

b

c

)r，其中0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1．
（1）当r＞1时，(

a

c

)r+(

b

c

)r＜

a

c

+

b

c

=1，所以a^r+b^r＜c^r；
（2）当r＜1时，(

a

c

)r+(

b

c

)r＞

a

c

+

b

c

=1，所以a^r+b^r＞c^r．

点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意公式的灵活运用．