题目内容

【题目】已知直线l： 椭圆C： ，分别为椭圆的左右焦点.

（1）当直线l过右焦点时，求C的标准方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若∠AOB是钝角，求实数a的取值范围.

【答案】（1） （2）.

【解析】

（1）将右焦点代入直线方程，结合椭圆中的及关系，即可求得，进而得椭圆方程.

（2）设，联立直线与椭圆方程，化简后由判别式可确定a的范围；并由韦达定理表示出、，进而表示出，由为钝角并结合平面向量数量积的坐标运算，即可求得a的取值范围.

（1）直线l过右焦点，则，代入直线方程可得，

椭圆C： ，

所以解得

所以椭圆C的方程为，

（2）由题可得，设，

则化简可得得，

由，因即①

由韦达定理得，，，

因为，

因为钝角，所以，

即

所以 ，

即

所以， ②

综上所述，由①②得的取值范围为.

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A.B.

C.D.

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