Question

根据下面各个数列{a_n}的首项和递推关系，求其通项公式：
（1）a₁=1，a_n+1=a_n+2n（n∈N^*）；
（2）a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n（n∈N^*）；
（3）a₁=1，a_n+1=

1

2

an+1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）采用迭加法，利用递推关系a_n+1-a_n=2n，代入变式a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）即可求出a_n
（2）采用叠乘法，由

an+1

an

=

n

n+1

，即可导出每一项与前一项的比值，然后代入变式a_n=a₁×

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

…×

an-1

an-2

×

an

an-1

即可求出a_n
（3）形如a_n+1=ka_n+h（k，h常数）的形式的递推公式求a_n通项时采用构造法，即将数列构造成一个以k为公比的等比数列，即∵an+1=

1

2

an+1∴an+1-2=

1

2

(an-2)∴{an-2}是首项为a₁-2=-1，公比为

1

2

的等比数列，由此求出a_n-2的通项后解出a_n即为所求．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+2n，∴a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2×1+2×2+…+2×（n-1）=1+n×（n-1）=n²-n+1
（2）∵

an+1

an

=

n

n+1

，∴
a_n=a₁×

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

…×

an-1

an-2

×

an

an-1

=1×

1

2

×

2

3

×

3

4

…×

n-2

n-1

×

n-1

n

=

1

n

又解：由题意，（n+1）a_n+1=na_n对一切自然数n成立，
∴na_n=（n-1）a_n-1═1•a₁=1，
∴an=

1

n

．
（3）∵an+1=

1

2

an+1∴an+1-2=

1

2

(an-2)∴{an-2}是首项为a₁-2=-1
公比为

1

2

的等比数列，
∴a n-2=-1•(

1

2

)n-1，∴an=2-(

1

2

)n-1．

点评：本例主要复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法；属于数列求通项的重要方法，难度适中，难度系数为0.5