Question

设x∈(0，

π

2

)，求函数y=

225

4sin2x

+

2

cosx

的最小值．

Answer 1

分析：先将函数y=

225

4sin2x

+

2

cosx

变形成y=

225

4sin2x

+ksin2x+

1

cosx

+

1

cosx

+kcos2x-k，然后利用基本不等式求出最值，注意等号成立的条件即可求出所求．

解答：解：因为x∈(0，

π

2

)，所以sinx＞0，cosx＞0，设k＞0，
y=

225

4sin2x

+ksin2x+

1

cosx

+

1

cosx

+kcos2x-k≥15

k

+3

3	k

-k（1）
其中等号成立当且仅当

225 4sin2x =ksin2x 1 cosx =kcos2x

?

sin4x= 225 4k cos3x= 1 k

?

sin2x= 15 2 k cos2x= 1 3 k2

成立，
此时

15

2 k

+

1

3 k2

=1，设

1

k

=t6，则2t⁴+15t³-2=0．

2t4+15t3-2=2t4-t3+16t3-2=t3(2t-1)+2(2t-1)(4t2+2t+1) =(2t-1)(t3+8t2+4t+2) 故(2t-1)(t3+8t2+4t+2)=0

注意到sin2x=

15

2 k

≤1，cos2x=

1

3 k2

≤1，判断易知满足限制条件的根只有t=

1

2

．
当t=

1

2

时，k=

1

t6

=64，不等式（1）取得等号．
所以函数y=

225

4sin2x

+

2

cosx

的最小值为15

64

+3

3	64

-64=68．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及高次方程的求解，同时考查了运算求解的能力，属于难题．