Question

已知函数f（x）=2cos

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)．
（1）设x∈[0，

π

2

]，且f（x）=

3

+1，求x的值；
（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，AB=1，f（C）=

3

+1，且△ABC的面积为

3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）函数解析式利用单项式乘多项式法则计算，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据f（x）的值，即可求出x的值；
（2）利用三角形的面积公式及余弦定理列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．

解答：解：（1）f（x）=2

3

cos²

x

2

-2sin

x

2

cos

x

2

=

3

（1+cosx）-sinx=2cos（x+

π

6

）+

3

，
由2cos（x+

π

6

）+

3

=

3

+1，得cos(x+

π

6

)=

1

2

，
于是x+

π

6

=2kπ±

π

3

（k∈Z），
∵x∈[0，

π

2

]，∴x=

π

6

；
（2）∵C∈（0，π），∴由（1）知C=

π

6

，
∵△ABC的面积为

3

2

，∴

3

2

=

1

2

absin

π

6

，即ab=2

3

，①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a、b，
由余弦定理得1=a²+b²-2abcos

π

6

=a²+b²-6，
∴a²+b²=7，②
由①②可得

a=2 b= 3

或

a= 3 b=2

，
则a+b=2+

3

．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．