题目内容

设函数f（x）=msinx+3cosx（m∈R），若函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为 $数学公式$
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，f（A）=3，a=2，求△ABC周长l的范围．

解：（1）根据题意得：msin $\text{[math]}$ +3cos $\text{[math]}$ =msin $\text{[math]}$ +3cos $\text{[math]}$ =n，
变形得：m= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$
∴f（x）=3 $\text{[math]}$ sinx+3cosx；
（2）f（x）=3 $\text{[math]}$ sinx+3cosx=6sin（x+ $\text{[math]}$ ）
∵f（A）=3，∴6sin（A- $\text{[math]}$ ）=3，∵A∈（0，π），∴A= $\text{[math]}$
∵a=2，∴4=b²+c²-2bccos $\text{[math]}$ =b²+c²+bc=（b+c）²-bc
∵b+c≥2 $\text{[math]}$ ，∴0＜bc≤ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ≤（b+c）²-bc＜（b+c）²，
∴ $\text{[math]}$ ≤4＜（b+c）²，∴2＜b+c≤ $\text{[math]}$
∴4＜a+b+c≤2+ $\text{[math]}$
∴4＜l≤2+ $\text{[math]}$
分析：（1）利用函数f（x）的图象与直线y=n（n为常数）相邻两个交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，建立方程，即可求得m的值，从而可求函数f（x）的解析式；
（2）先确定A的值，再利用余弦定理、基本不等式，即可求△ABC周长l的范围．
点评：本题考查三角函数的化简，考查余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．