Question

       已知等差数列中，，令，数列的前项和为。

       （1）求数列的通项公式；（2）求证：；

       （3）是否存在正整数，且，使得，，成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设数列的公差为，由，。

       解得，，∴。（4分）

       （2）∵，，∴

       ∴

       ∴。（8分）

       （3）由（2）知，，∴，，，

       ∵，，成等比数列，∴，即

       当时，，，符合题意；

       当时，，无正整数解；

       当时，，无正整数解；

       当时，，无正整数解；

       当时，，无正整数解；

       当时，，则，而，

       所以，此时不存在正整数，且，使得，，成等比数列。

       综上，存在正整数，且，使得，，成等比数列。