Question

如图,已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱长都相等,且侧棱垂直于底面,由B沿棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线长为2,设这条最短路线与CC₁的交点为D.

(1)求三棱柱ABC—A₁B₁C₁的体积;

(2)在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断;

(3)证明平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁.

Answer 1

解:(1)如图,将侧面BB₁C₁C绕棱CC₁旋转120°使其与侧面AA₁C₁C在同一平面上,点B运动到点B₂的位置,连结A₁B₂,则A₁B₂就是由点B沿棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线.

设棱柱的棱长为a,则B₂C=AC=AA₁＝a,∵CD∥AA₁,∴D为CC₁的中点.

在Rt△A₁AB₂中,由勾股定理得A₁A²+AB₂²=A₁B₂²,

即a²+4a²=(2)²,解得a=2.

∵S_△ABC=×2²=,∴=S_△ABC·AA₁=2.

(2)设A₁B与AB₁的交点为O,连结BB₂,OD,则OD∥BB₂.∵BB₂平面ABC,OD平面ABC,

∴OD∥平面ABC,即在平面A₁BD内存在过点D的直线与平面ABC平行. (其他解法请参照给分)

(3)连结AD,B₁D,

∵Rt△A₁C₁D≌Rt△BCD≌Rt△ACD,∴A₁D=BD=B₁D=AD.∴OD⊥A₁B,OD⊥AB₁.

∵A₁B∩AB₁=O,∴OD⊥平面A₁ABB₁.又∵OD平面A₁BD,∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁.