Question

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求y=f′（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

（1）由已知得f′(x)=

ex

ex+1

-a．
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），解得a=

1

2

．故f′(x)=

ex+1-1

ex+1

-

1

2

，f′(x)=

1

2

-

1

ex+1

，所以f′(x)∈(-

1

2

，

1

2

)
（2）由（1）f′(x)=

ex

ex+1

-a=1-

1

ex+1

-a．
当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（e^x+1）＞1，即ex＞-1+

1

1-a

，x＞ln

a

1-a

，
∴当0＜a＜1时，y=f(x)在(ln

a

1-a

，+∞)内单调递增，
在(-∞，ln

a

1-a

)内单调递减．
故当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，y=f(x)在(ln

a

1-a

，+∞)内单调递增；在(-∞，ln

a

1-a

)内单调递减．