题目内容

已知函数f（x）满足f（1）=a，且 $数学公式$ ，若对任意的n∈N^*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有

A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个

B
分析：欲求出对任意的n∈N^*总有f（n+3）=f（n）成立时a在（0，1]内的可能值，只须考虑n=1时，使得方程f（4）=f（1）的a在（0，1]内的可能值即可．对a进行分类讨论，结合分段函数的解析式列出方程求解即可．
解答：∵0＜a≤1，
∴f（2）=2f（1）=2a，
①当0＜a≤ $\text{[math]}$ 时，0＜2a≤ $\text{[math]}$ ，0＜4a≤1，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）=2f（3）=8a，
此时f（4）=f（1）不成立；
②当 $\text{[math]}$ ＜a≤ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ＜2a≤1，1＜4a≤2，
∴f（3）=2f（2）=4a，
f（4）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
此时f（4）=f（1）? $\text{[math]}$ =a? $\text{[math]}$ ；
③当 $\text{[math]}$ ＜a≤1时，1＜2a≤2，2＜4a≤4，
∴f（3）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴f（4）=2f（3）= $\text{[math]}$ ，
此时f（4）=f（1）? $\text{[math]}$ =a?a=1；
综上所述，当n=1时，有f（n+3）=f（n）成立时，
则a在（0，1]内的可能值有两个．
故选B．
点评：本小题主要考查分段函数、函数恒成立问题、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．