Question

【题目】已知球内接四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

(1)由题意可得，利用线面平行的判断定理可得结论；

(2)结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值为.

试题解析：

解：（1）证明：由分别是的中点，得，

且满足平面平面，所以平面.

（2）由球的表面积公式，得球的半径，

设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，

连，则，

则在，则，即,

在正四棱锥中， 平面于，且于，

设为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系系，

得中点，

所以，

设分别是平面和平面的法向量，

则 和，

可得，则，

由图可知，二面角的大小为钝角，

所以二面角的余弦值为.