Question

【题目】对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底， 为常数

(1)讨论函数的单调性；

(2)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】【试题分析】（１）先对函数的解析式进行求导，再运用分类整合思想分类探求；（２）依据题设条件先假设分界线的存在，然后再建立不等式运用导数与函数的单调性的关系进行分析求解：

(1)

当时， ，所以在上单调递增.

当时，

当时， 在上，所以单调递减； 在上，所以单调递增.

当时， 在上，所以单调递增； 在上，所以单调递减.

(2)假设存在直线，使不等式

当时，由于，所以

所以， 恒成立，所以恒成立.

令，解得，所以只需不等式恒成立

设，则

在上单调递增，且

当时， ，所以单调递减；当时， ，所以单调递增.

，所以不等式恒成立

综上所述，函数与函数存在分界线，其分界线方程为