Question

（本题满分14分）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点E为的中点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：；

（III）在线段AB上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出

的长；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】第一问中利用线面平行的判定定理可知，只要证明//，那么可以得证。

第二问中，利用线面垂直度性质定理得到线线垂直关系是证明

第三问中，假设存在点点，使二面角的大小为，可以建立空间直角坐标系，借助于法向量的夹角表示二面角的平面角的大小得到点的坐标。

解：（Ⅰ） , 点E为的中点,连接。

的中位线 // ……2分

又           …………4分

（II）正方形中, ,     由已知可得：，

      ,

     ………………………9分

（Ⅲ）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设，

设平面的法向量为，

则得，

取平面的一个法向量，

而平面的一个法向量为，二面角的大小为，，

故当时，二面角的大小为………………………14分