题目内容

已知θ∈（0，π），且sinθ，cosθ是方程 $数学公式$ 的两根，求sin³θ+cos³θ及 $数学公式$ 的值．

解：∵sinθ，cosθ 是方程5x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ =0的两根，
∴sinθ+cosθ= $\text{[math]}$ ，θ∈（0，π ），
sinθ cosθ=- $\text{[math]}$ ＜0．
解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂=- $\text{[math]}$ ．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，∴sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ=- $\text{[math]}$ ．
则tanθ=- $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
sin³θ+cos³θ= $\text{[math]}$ ．
分析：利用根与系数之间的关系得到sinθ+cosθ= $\text{[math]}$ ，根据θ∈（0，π），再结合平方关系，求出sinθ，cosθ的值，然后代入直接求出tanθ和sin³θ+cos³θ的值即可得到结果．
点评：本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，考查同角的三角函数之间的关系，本题解题的关键是根据所给的角的范围，求出一元二次方程的两个根，本题是一个中档题目．

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