Question

15．（1）已知0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，求cosβ的值；
（2）在△ABC中，sinA-cosA=$\frac{2}{3}$，求cos2A的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα 和sin（α-β）的值，再利用两角和差的余弦公式求得cosβ=cos[α-（α-β）]的值．
（2）把sinA-cosA=$\frac{2}{3}$ ①平方可得 2sinAcosA=$\frac{5}{9}$．从而求得sinA+cosA=$\sqrt{{（sinA+cosA）}^{2}}$ 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2A=（sinA-cosA）（sinA+cosA）的值．

解答 解：（1）∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，sinα=$\frac{3}{5}$，cos（α-β）=$\frac{12}{13}$，
∴cosα=$\frac{4}{5}$，sin（α-β）=-$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-β）}$=-$\frac{5}{13}$．
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$+$\frac{3}{5}$×（-$\frac{5}{13}$）=$\frac{33}{65}$．
（2）△ABC中，sinA-cosA=$\frac{2}{3}$ ①，平方可得 1-2sinAcosA=$\frac{4}{9}$，2sinAcosA=$\frac{5}{9}$．
∴A为锐角．
∴sinA+cosA=$\sqrt{{（sinA+cosA）}^{2}}$=$\sqrt{1+2sinAcosA}$=$\frac{\sqrt{14}}{3}$ ②．
∴cos2A=cos²A-sin²A=-（sinA-cosA）（sinA+cosA）=$\frac{-2\sqrt{14}}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．