Question

【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ax+a,a∈R.

（1）求f(x)的单调区间；

（2）当x≥1时，恒有g(x)=(x+1)f(x)﹣lnx≤0恒成立，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当a≤0时，函数的单调增区间为，无单调减区间；当a>0时，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；（2）.

【解析】

（1）求导，对参数进行分类讨论，求出对应情况下的单调区间即可；

（2）求出的导函数，进行二次求导，通过讨论导数的正负，判断函数的单调性，结合题意即可进行求解.

（1）函数的定义域(0,+∞)，，

(i)当时，恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

(ii)当a>0时，由可得，，此时函数单调递增，

由可得，x，此时函数单调递减.

故当a≤0时，函数的单调增区间为，无单调减区间；

当a>0时，函数的单调增区间为，函数的单调减区间为.

（2）当x≥1时，g(x)=(x+1)(lnx﹣ax+a)﹣lnx=xlnx﹣ax2+a，

=lnx+1﹣2ax，

令h(x)=lnx+1﹣2ax，

则.

(i)当a≤0时，>0恒成立，h(x)在[1,+∞)上单调递增.

h(x)≥h（1）=1﹣2a>0，

即0，故g(x)在[1,+∞)上单调递增，g(x)≥g（1）=0，不合题意；

(ii)当0<a时，h(x)在[1,]上单调递增，

=1﹣2a>0，此时g(x)在[1,]上单调递增，

所以g()>g（1）=0，不合题意；

(iii)当a时，，h(x)在[1,+∞)上单调递减，

所以，故≤0，

所以g(x)在[1,+∞)上单调递减，

所以g(x)≤g（1）=0，所以g(x)≤0恒成立.

综上所述，的取值范围为.