Question

已知f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在（-4，5）上的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）由奇函数的定义，应有f（-x）=-f（x），x∈R
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d∴d=0
因此，f（x）=ax³+cx  f'（x）=3ax²+c
由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f'（1）=0，故

a+c=-2 3a+c=0

解得a=1，c=-3因此，f（x）=x³-3x，
（II）f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
当x∈（-4，-1）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（-4，-1）上是增函数
当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数
当x∈（1，5）时，f'（x）＞0，故f（x）在单调区间（1，5）上是增函数