题目内容
函数f（x）=x2-2x-3，定义数列{ xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4，5），Qn（ xn，f（ xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{ xn}的通项公式．
【答案】分析：（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为
，当y=0时，可得
；②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为
，当y=0时，可得
，根据归纳假设2≤xk＜xk+1＜3，可以证明2≤xk+1＜xk+2＜3，从而结论成立．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
，构造bn=xn-3，可得
是以-
为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ xn}的通项公式．
解答：（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为
当y=0时，∴
，∴2≤x1＜x2＜3；
②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为
当y=0时，∴
∵2≤xk＜xk+1＜3，∴
∴xk+1＜xk+2
∴2≤xk+1＜xk+2＜3
即n=k+1时，结论成立
由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
设bn=xn-3，∴
∴
∴
是以-
为首项，5为公比的等比数列
∴
∴
∴
．
点评：本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．
，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤xk＜xk+1＜3，可以证明2≤xk+1＜xk+2＜3，从而结论成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
，构造bn=xn-3，可得是以-为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ xn}的通项公式．解答：（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为
当y=0时，∴
，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤xk＜xk+1＜3，直线PQk+1的方程为
当y=0时，∴
∵2≤xk＜xk+1＜3，∴
∴xk+1＜xk+2
∴2≤xk+1＜xk+2＜3
即n=k+1时，结论成立
由①②可知：2≤xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得
设bn=xn-3，∴
∴
∴
是以-为首项，5为公比的等比数列∴
∴
∴
．点评：本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．
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