Question

【题目】长为的均匀细杆，一端放在水平地面上，同时斜搁在半径为的匀质圆柱上，如图所示，三个接触处的摩擦因数均为.证明：

（1）如果，则平衡时杆与地面间的最大倾角.

（2）如果，则当平衡时，最大倾角由下列方程确定：.

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

(i)由圆柱体的平衡条件可知,两处的摩擦力总是一样大的,如果要在两处产生滑动,则一定是处先滑动;(i)由平衡时三力共点的条件可知,杆对圆柱体在点的作用力(约束反力)一定过点。

由此可知,圆柱体对杆的作用力方向总是沿方向的,不论其是否处于临界状态。

我们首先讨论杆的平衡条件:

由于杆与外界有两处接触,哪一处先达到临界状态都是有可能的,因此,在一系列的可能状态中,我们挑选一特定状态,即同时达到临界状态时,杆长与圆柱半径应满足的关系,此刻的用表示.

由图乙中几何关系易知,杆的上端应在过点的竖直线上,则

，

其中,

且.

所以，.

(1)时,讨论其平衡。

当时,杆的质心将沿杆下移,图乙中点上移到点(点仍保持临界),此时点受力通过点,系统才能保持平衡,点处的作用力方向变为方向,与法向的交角小于.在这种情况下,即处处于临界,处未达到临界,这种情况仍然属于系统(杆)处于临界状态,而杆与地面的交角仍然是杆达到临界平衡时的最大交角.

显然,在这种情况下,还有一几何约束,即不能小于,即不能小于,否则杆就不能搁在圆柱上了.考虑到,所以,条件统一表示为

，或.

在此情况下,杆与地面间的夹角满足

，即.

(2)时,讨论其平衡。

在不变的情况下,当时,点将沿杆上移,此时通过点的竖直线与圆柱对杆的作用方向上的直线交于,在点之下.如果系统还要达到平衡,三力必须交于,但是,此时与竖直方向交角已经大于,杆不能达到平衡.

如图丙所示,为了达到平衡,在处,作用在圆柱上的力与法向交角不能是,而应该变小,直到平衡时,点处杆的受力方向与竖直线方向达,才使杆达到新的平衡。

下面求满足的方程.

.

由于，

最后来求.

由图丙可知，

所以,，

所以， ，

即.

本题是一道多点摩擦、临界分析、几何约束交织在一起的难题。

由于平衡问题的研究是学习物理的开端,很多人错误地认为平衡问题是物理中的简单问题,其实不然,以竞赛试题为例,一旦出现平衡问题,不论是复赛还是决赛,往往就是当年的难题,究其原因,平衡问题往往涉及多个对象,复杂的结构模型,多接触点的受力分析,隐晦的临界状态,不确定的可能状态,繁杂的几何关系,大量的运算等等,且不说上述各种情况同时出现,哪怕只有两三种出现在同一道试题中(如本题),答题者如不具备扎实的基础,熟练地运用知识的能力,过硬的心理素质,较强的定力,要想顺利完成解答,则无异于异想天开。