Question

【题目】有一半径为的圆柱，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与相同，半径为的较细圆柱，用手扶着圆柱，将放在的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。已知圆柱与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30,，若放手后，两圆柱体能保持如图所示的平衡，问：圆柱与墙面间的静摩擦系数和圆柱的半径的值各应满足什么条件？

Answer 1

【答案】

【解析】

放上圆柱后,圆柱有向下运动的倾向,对圆柱和墙面有压力.圆柱倾向于向左运动,对墙面没有压力.平衡是靠各接触点的摩擦力维持的.现设系统处于平衡状态,取圆柱受地面的正压力为,水平摩擦力为;圆柱受墙面的正压力为,竖直摩擦力为,圆柱受圆柱的正压力为,切向摩擦力为;圆柱受圆柱的正压力为,切向摩擦力为,如图所示.各力以图示方向为正方向.

已知圆柱与地面的摩擦系数,两圆柱间的摩擦系数.设圆柱与墙面的摩擦系数为,过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。

设两圆柱的质量均为,为了求出以及为保持平衡所需的之值,下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程。

对圆柱，有

, ①

, ②

. ③

对圆柱,有

, ④

, ⑤

. ⑥

由于,得

, ⑦

式中代表和的大小。又因,于是式①②④⑤四式成为

, ⑧

, ⑨

, ⑩

.

以上四式是和的联立方程,解这联立方程可得

,

，

，

.

式是平衡时所需要的力,没有问题,但三个力能不能达到所需要的数值，即式要受摩擦系数的制约.三个力中只要有一个不能达到所需的值,在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。

首先讨论圆柱与墙面的接触点.接触点不发生滑动,要求

。

由式得,，

所以，.

再讨论圆柱与地面的接触点的情形.按题设,此处的摩擦系数为,根据摩擦定律，若上面求得的接触点维持平衡所需的水平力满足,则圆柱在地面上不滑动;若,这一点将要发生滑动。

圆柱在地面上不发生滑动的条件是

.

由图乙可知，

则.

由式以及,可以求得

.

即只有当时,圆柱A在地面上才能不滑动。

最后讨论两圆柱的接触点.

.

由式以及,可解得

.

显然,在平衡时,的上限为.总结式和式,得到满足的条件为

.