Question

【题目】【2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】

已知数列满足，，其中，，为非零常数.

（1）若，，求证：为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）若数列是公差不等于零的等差数列.

①求实数，的值；

②数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）①，，.②，，

【解析】

解：（1）当，时，，

.

又，不然，这与矛盾，

为2为首项，3为公比的等比数列，

，.

（2）①设，

由得，

，

对任意恒成立.

令，2，3，解得，，，.

经检验，满足题意.

综上，，，.

②由①知.

设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.

1°若三个奇数一个偶数，设，，，是满足条件的四项，

则，

，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.

2°若一个奇数三个偶数，设，，，是满足条件的四项，

则，.

由504为偶数知，，，中一个偶数两个奇数或者三个偶数.

1）若，，中一个偶数两个奇数，不妨设，，，

则，这与251为奇数矛盾.

2）若，，均为偶数，不妨设，，，

则，继续奇偶分析知，，中两奇数一个偶数，

不妨设，，，则.

因为，均为偶数，所以为奇数，不妨设，

当时，，，检验得，，，

当时，，，检验得，，，

当时，，，检验得，，，

即，，，或者，，，或者，，，满足条件，

综上所述，，，为全部满足条件的四元子列.