Question

【题目】如图所示，质量分别为、（）的“母子球”，从高度h处自由下落。证明：大球与地面相碰后，小球从大球顶反弹的最大高度达9h。

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】

两球在落地前均有向下的速度，先与地弹性碰撞后速度变为向上的，取向上为正方向，根据碰撞中的双守恒，有

，

。

由此解得与发生弹性碰撞后的速度变为。

若，则有，故反弹后能达到的最大高度为。

我们也可以变换参考系，利用弹性碰撞时接近速度等于分离速度的结论来进行分析。假如你站在大球上，当大球与地面弹性碰撞后，将观察到小球以的速度靠近，弹性碰撞后亦以的速度离开，这时小球对地的速度为，同样可以得到其最大高度为9h。

如果在上面再放一个小球，且满足，我们可以求解得到，反弹后能达到的最大高度为49h。

如果在100m高楼上做这个实验，要使最上面的球碰撞后能达到第一宇宙速度，需要叠放几个球呢？

通过推理得到第n个球反弹获得的速度为

，

有，

解得。所以需叠放8个球。

当然，8个球在空间垂直线上要实观弹性碰撞是很难做到的，何况要满足限制条件，如小球质量比，欲使一颗质量为的小球获得第一宇宙速度，的质量要达到，它足以毁坏大楼的地基。